Easy zipからEasy zip Proへのデータの移行は手作業で行っていただく必要があります。
出来るだけ簡単な方法をご紹介させていただきます。
フォルダにまとめて送信
ユーザー様の使い方にもよりますが、いくつかのファイルをひとつのフォルダに入れてまとめて送信する方法です
フォルダにまとめたら左から右へスワイプし「OtherApp」をタップ

メニューが表示されたら「EasyZipProへコピー」をタップ

以上で「Easy zip Pro」へフォルダのコピーが完了です。
もちろんフォルダの中身もコピーされます。
「ファイル」アプリを利用してコピー
ファイルアプリを開いて「このiPad内/このiPhone内」を選択

コピー元の「Easy zip」をタップ

右上の「選択」をタップ

「myDoc」を選択し下のメニューの「移動」をタップ

移動先に「EasyZipPro」を選択し「移動」をタップ

EasyZipProを起動したことがある場合は「既存の項目を置き換えますか?」と表示されますので
「置き換える」を選択すると上書きされます。
その場合は元のデータがゴミ箱に入ってしまいますのでご注意ください。